「基礎数学の123」著者語る8 二次方程式の根,複素数

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 今回は二次方程式の根から複素数,複素数平面について考えてみたいと思います。コンピュータでは原則的には複素数は扱えません。複素数をサポートしているのは研究分野以外ではメジャーでないFortranぐらいでしょう。そのことを考えると,高等学校の数学で複素数に深入りする必要性があるのかと思います。

第1章 1次関数,2次関数 第2節 2次の変化と方程式
第2章 数と式 第1節 実数と複素数
第6章 座標幾何 第2節 極座標の幾何

1 ルートの中が負の数になる
 複素数がどうやってでてきたかというと,ルートの中が負数になることから出てきています。コンピュータで計算することを重視する立場では,実数をまず重視するべきでしょう。そこで第1章では実数だけで考えています。そこで解(solution)と根(root)を区別します。
判別式Dが正  実数解は2つ, 異なる2つの実数根
判別式Dが0  実数解は1つ, 同じ値の2つの実数根
判別式Dが正  実数解はなし, 異なる2つの複素数根

 このように整理した方がすっきりします。解は場合によって個数が異なるが,根は常に2つあるんです。
 第1章p18と第2章p50を比較してください。
 
2 計算について閉じている
 第2章の最初に,自然数,整数,有理数が加減乗除で閉じているかどうかを最初に考えさせることにしました。プログラミングの際,整数型で定義した複数の変数の平均値をとると割り算が発生するので,浮動小数単型に変わります。強制型変換つまりキャストする必要があります。こういうことを意識させるが数学で重要です。

3 三平方の定理から無理数へ
 たびたび,三平方の定理を簡単に扱って,無理数の図解を行っています。ピタゴラス学派は三平方の定理から,無理数に気がついたんですから,こういうことは教える方がいいですよね。しかも,印象深いと思います。
 ルートの足し算と引き算(p44)の図解はいいと思いますよ。また二重根号については,p224の正五角形の対角線を参考にするといいでしょう。

4 複素数平面
 複素数の図形的表示ですが,第2章では共役と和・差をとりあげます。
 第6章で極座標として複素数を取り上げて,複素数の積・商をとりあげます。
この本の趣旨は高等学校の数学を単に復習することが目的ではなく,大学や専門学校の数学で使っていくことが目的です。自然対数の底eの虚数べき乗まで扱って,最後はオイラーの公式でこの本と締めとしました。

【参考書】

数と計算の意味がわかる―数学の風景が見える

数と計算の意味がわかる―数学の風景が見える [書籍]

著者: 野崎 昭弘, 伊藤 潤一, 何森 仁, 小沢 健一

出版社: ベレ出版

出版日: 2001-02

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 176

ISBN: 493907661X

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証明の展覧会〈1〉眺めて愉しむ数学

証明の展覧会〈1〉眺めて愉しむ数学 [書籍]

著者: ロジャー・B. ニールセン

クリエーター: Roger B. Nelsen, 秋山 仁, 酒井 利訓, 奈良 知恵

出版社: 東海大学出版会

出版日: 2002-06-01

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 196

ISBN: 4486015800

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証明の展覧会〈2〉眺めて愉しむ数学

証明の展覧会〈2〉眺めて愉しむ数学 [書籍]

著者: ロジャー・B. ニールセン

クリエーター: Roger B. Nelsen, 秋山 仁, 酒井 利訓, 奈良 知恵

出版社: 東海大学出版会

出版日: 2003-03-01

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 176

ISBN: 4486015819

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「基礎数学のABC」著者語る6 図形と座標

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる [書籍]

著者: 江見 圭司, 矢島 彰, 中西 祥彦, 江見 善一, 石川 高行

出版社: 共立出版

出版日: 2006-03-10

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 324

ISBN: 4320018184

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 今回は「図形と座標」について取り上げます。

第5章 解析幾何とベクトル 第1節 図形と座標

 内分・外分,ベクトルの内積,ベクトルの線形結合を扱っています。高等学校ではばらばらのものを効率よく扱っています。

1 てこの原理から内分・外分
 座標内の内分・外分はてこの原理をつかえばかなり楽に理解できます。しかし,てこの原理は小学校の理科では昔ほどはやりません。中学入試をうけるような特殊な方だけで持ち合わせている知識なんです。
 問題はてこの原理を知らないことです。本書執筆の更に5年前の2000年頃に私は小学生に中学入試の理科を教えました。てこの原理を教えた日のことが忘れられません。「みんな,シーソーに乗ったことあるよね?」というと,「先生,僕の家の近くの公園にシーソーありません」,「先生も僕も」,「シーソーはあったのは見たことがあるんですが,いつの間にかブランコと一緒になくなっていました」という具合に,クラスは騒然。これじゃ授業にならない! まったくかわいそうですね。こんな状況では勉強ができるようになりませんよね。
 でも,てこの原理というのはモデル化の一つです。なんとか,体感してもらいたいものです。ちなみに,執筆当時,てこの原理のアナロジーで内分・外分を紹介することは共著者からも反対があったんですが代替案がなかったんですね。

2 三平方の定理→余弦定理→内積
 この章では,解析幾何での便法として,幾何ベクトルを定義しています。そして,高等学校では,

  • 三平方の定理(中3)
  • 余弦定理(数学I,高1)
  • 内積(数学B,高2)

 という具合にばらばらに学習するので,連携がありません。リメディアル本なので,これを一つの流れにしました。結構,わかりやすいのではないかと思います。

3 線形結合へ
 本節の最後には線形結合まで導いています。ベクトルを図形としての定義をはじめにして,多次元量としての定義を後回しにしています。このあたり,どう導入するかはいつも悩む問題です。ちなみに,「サク単 線形代数」では図形としての定義を優先しました。

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「基礎数学のABC」著者語る5 個数の処理と確率

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる [書籍]

著者: 江見 圭司, 矢島 彰, 中西 祥彦, 江見 善一, 石川 高行

出版社: 共立出版

出版日: 2006-03-10

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 324

ISBN: 4320018184

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 今回は「個数の処理と確率」について取り上げます。

第2章 個数の処理と確率 第1節 個数の処理
第2章 個数の処理と確率 第2節 確率

1 個数の処理
 まずは華々しい例題として,「中世イタリアの3つのサイコロの目の和をあてる」という賭け事をとりあげました。目の和が9になる場合も10になる場合も組み合わせは6通り。しかし目の和が10になる可能性の方が体感的に高いことが知られていたんですが,その根拠がわからなかったんです。そこで,組み合わせと順列の違いを理解してのに好例だと思っています。p46からp47にかけて,実際のサイコロの目が出ています。
 つづいて,幕の内弁当のことも述べています。重複組み合わせではアイスクリームを例にしています。

2 二項定理とパスカルの三角形
 パスカルの三角形は微分・積分を学習するときの基本なんですが,高等学校では伝統的におまけ的な扱いになっています。多項式展開に必ず出てくるのが,パスカルの三角形。
 組み合わせを学習していない場合は二項定理は無理でも,パスカルの三角形なら直感駅に利用させることは可能なので,是非とも,多項式展開ではうまく教えることを望むところです。

3 集合からのつながりで確率を
    第1章からつながりで,確率を扱うように努力しました。
共著者の努力で豊富な例題がそろっています。

4 幾何学的確率
 面積で漠然と表される確率があることを述べました。ここでは滋賀県のなかにしめる琵琶湖の面積をメッシュに区切って求めることを行いました。

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フランス語の格変化?

フランス語はaとdeが特別であることがわかりましたね。

ラテン語の格と比較するとわかるんですよね。

ラテン語(lingua Latina) > ラテン語の文法(grammatica) > 格(casus)の用法

主格(が)  語順
対格(を)  直接他動詞のあと
与格(に)  基本はà
属格(の)  基本はde
奪格(から) 大部分はde
       場所  en,à 元来の地格
       様態  avec
       手段  par, avec 元来の具格/造格
地格(に)  à,dans

Amazon.co.jp: フランス語統辞論: 島岡 茂: 本

フランス語の名詞の変化をまとめました。 | オブ脳@kcg

 

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「基礎数学のABC」著者語る3 統計とコンピュータ

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる

基礎数学のABC―集合・確率統計・幾何がビジュアルにわかる [書籍]

著者: 江見 圭司, 矢島 彰, 中西 祥彦, 江見 善一, 石川 高行

出版社: 共立出版

出版日: 2006-03-10

商品カテゴリー: 単行本

ページ数: 324

ISBN: 4320018184

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 今回は「統計とコンピュータ」について取り上げます。

第3章 統計とコンピュータ 第1節 資料の整理 第2節 資料の分析 付録2 「表計算ソフト」を使いこなそう

1 表計算ソフトを用いた記述統計  2003年度改訂実施の学習指導要領は「ゆとり」がひどいと批判にさらされていた。それは小学校や中学校の算数・数学と理科の話で,高等学校の数学のカリキュラムとしては円熟していたようにも見えました。特に,コンピュータとの関連です。  当時の数学Bを整理すると以下のようになります。

  1. 数列
  2. ベクトル
  3. 統計とコンピュータ…表計算ソフトを用いた統計処理
  4. 数値計算とコンピュータ…BASICでニュートン法などを扱う

 以上をみればわかるように,プログラミング言語と表計算ソフトの使い方がほどよくなっているのです。教科書の巻末には表計算ソフトの簡単なマニュアルまで付いていました。そこで我々もこの流れにしたがって,推定・検定以外の記述統計を中心に扱いました。

2 統計から確率,確率から統計
 1982年度学習指導要領の「確率・統計」と振り返ると,当時の文部省は以下のような構成を想定していました。

  記述統計(資料の整理)→場合の数→確率→確率変数→推定統計(統計的推測)

このうち,統計的推測は東京大学で出題しないと明言していたので,多くの高等学校では学習しなかったのではないかと思います。さて,例の三省堂の教科書を見ると,市販されているのは初版(1982年)です。ここではこの流れです。しかし私が持っている新版(1988年)では

  確率→場合の数→確率変数→記述統計(資料の整理)→推定統計(統計的推測)

となっています。多くの教科書ではこの流れだったようですね。歴史的経緯で行くと,記述統計が先に出てきます。まったく別の文脈で場合の数がでてきて,確率へつながり,記述統計での概念と一致してくるのです。なお,場合の数は英語ではcounting methodと言われるので,ここでは「個数の処理」という名称をつかっています。

第3節 数学,1982年度学習指導要領…確率・統計
第4節 数学,1994年度学習指導要領…数学I,数学B

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