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　 「京大文法」と言われいる「新初等フランス語教本」は２０年前なら，いい本だったかもしれませんが，現在では比較的丁寧な本がたくさん出ています。この本だけの演習ではなにかがたりません。そこで，シリーズでこの本の補い方を解説していきます。
　今回は，昔語りをしましょう。私がこの本を使った頃は三訂版です。それに比べると，例文の量が３分の２ぐらいになっています。「ものたらん」と昔の方は言います。最後に詳細目次をあげおきますが，三訂版からは追加された部分があります。また，CDがついていて，演習問題の解答も読み上げてくれます。これはお得です。
　解答がなくても心配無用です。　Excersice（練習問題）, Version(仏文和訳), Thème(和文仏訳）の解答を学生が作っています。ご参考までに。
学生による解答←ダウンロード

単語帳もありますが，こちらは第７課までです。
新初等フランス語教本《文法編》（五訂版） 単語帳―理学部5組作成

　ちなみに，理学部５組は私が学生の頃はドイツ語クラスでした。さて，最後にフランス語の文字をあげておきます。ちょっと入力するときのためにテキストエディターかWｏｄで保存しておきましょう。パソコンで入力するときは，フランス語を選んで，キーボードタイプは「カナダ」を選びましょう。

アクサンテギュ (accent aigu, 鋭いアクサンの意)  
é    É                                        
アクサングラーヴ (accent grave, 重いアクサンの意)
à    è            ù        À    È    Ù            
アクサンシルコンフレクス (accent circonflexe, 湾曲したアクサンの意)
â    ê    î    ô    û        Â    Ê    Î    Ô    Û    
トレマ (tréma, 分音記号)
ä    ë    ï    ö    ü    ÿ    Ä    Ë    Ï    Ö    Ü    Ÿ
セディーユ (cédille)
ç    Ç                                
そのほか        
œ    Œ     æ     Æ

【Windowsでのフランス語入力】
フランス語のアクセント記号の入力方法について [神戸大学フランス語]                                  
Word －アクセント記号、フランス語、ドイツ語を簡単に入力するには？－教えて！HELPDESK

【詳細目次】

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　今回は対数について考えてみたいと思います。

第５章　指数・対数関数，三角関数　第１節　指数関数と対数関数

１　１０の小数べき乗
　そもそも１０の0.3乗はおよそ２になるんですが，どうやって計算したのかという疑問はありました。現在のコンピュータではべき級数展開で計算するのですが，手計算で概数を求めることができないのかなと思っていました。それが三省堂の教科書「基礎解析」の指導書の部分にありました。森毅先生の記事で計算円盤尺というものです。これを例題化したのが，p198の問題です。
　2^10 ≒ 10^3
∴　2＝2^1 ≒ 10^0.3
　という展開です見事。また
　5 = 10/2 ＝ 10×2^(－1)＝10^0.7
というぐらいに展開できます。
　同様にすれば，4, 8は求まります。3^4 ＝81は80に近いことから3ももとまります。
7^2 ＝49は50に近いことから7も求まります。すごいですね。
　こういう手計算をすれば，「１０の小数べき乗」も架空のことではないことが実感できます。

２　対数って
　上の議論を拡張すれば，どんな整数でも10のべき乗で表すことができます。
そうすれば，複雑な数どうしのかけ算を対数の足し算ですますことができます。実はこれが対数の醍醐味なんです。つまり，
　　真数のかけ算←→対数の足し算
　これをジョン・ネピアという人が発見したんですね。高等学校で数学IIIのときに対数微分というのがありましたね。あれは，関数のかけ算を微分するのが難しいので関数の対数をとって足し算にしてしまうという技ですね。

３　対数の底(base)
　いま，人間界では十進数が使われているので，10のべき乗を議論してきました。しかし，もっと便利な底がないのかと人々は探してきました。それが自然対数の底eなんですね。本書では高校の復習といいながら，eまで扱っています。eを導入するにはパスカルの三角形が必要なんですが，その話は後日にしましょう。
　ちなみに，コンピュータの世界では底を２にしています。もちろん２進数ですからそうするのですが，かけ算が足し算で処理できるので，コンピュータはかなり楽をしているのは大昔の人間と同じです。

【参考】
「対数微分」は以下をご覧ください。

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　今回は著書を横断的に，黄金比，フィボナッチ数列，正五角形の対角線を扱います。キーになる方程式はx^2－x－１＝０です。とりあげる場所は以下の部分です。

第１章　１次関数，２次関数　第２節　２次の変化と方程式　p15
第３章　数列　第１節　数列　p88, p120
第５章　指数・対数関数，三角関数　第２節　三角関数　p224

１　単純に正五角形の対角線の長さ
　三角比を拡張していくと，２倍角の公式や半角の公式をつかえばいろいろな角度の三角比を求めることができます。詳しくは本文を読んでほしいのですが，p224で36度のサインやコサインを正五角形の対角線の長さから導くことにしました。すると以下の方程式がでてきます。
　x^2－x－１＝０
　この正の解の半分がコサイン36度なんです。ここからサインを求めると二重根号が出てきていい勉強になります。

２　黄金比
　そもそも，古代ギリシャ時代のパルテノン神殿の頃から黄金比は発見されています。ヨーロッパ文明で大昔から「わーきゃー」と騒がれてきたのに，日本では一部の数学マニアだけが知っている事柄です。早速Wikipediaの項目の参考文献を見てください。どれほど，このテーマの本が多いかがわかりますよね。

黄金比 – Wikipedia
　この黄金比を学生さんに教えることはきわめて重要なことだと思います。そもそも黄金比は正五角形と関連づけて語られることも多いわけです。

３　フィボナッチ数列
　お恥ずかしながら，私はフィボナッチ数列の存在を大学生になるまで知らなかったのです。その存在を知ったのは，家庭教師先で三省堂の教科書「高等学校の基礎解析」を初めて読んだときです。なにかショックみたいなものが走りました。
フィボナッチは次の問題を考えました。
1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
兎が死ぬことはない。
この条件のもとで、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？
　この数列をp120で解説しています。特性方程式は
x^2－x－１＝０
となり，やはり，黄金分割と関係がでてきます。
　ちなみにWikipediaも読んでみましょう。
フィボナッチ数 – Wikipedia

　ひまわり，パイナップル，植物の葉の付き方，貝などの自然界にはよくあることがわかります。
　以下のような記事もご覧になるといいと思います。
【参考】

第１４回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す

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　今回は等比数列と指数関数の関係について述べます。とりあげる場所は以下の部分です。

第３章　数列　第１節　数列
第５章　指数・対数関数，三角関数　第１節　指数関数と対数関数

１　そもそも数列をなぜ学習するのか？
　私がいつも参考にしている三省堂の教科書の一つである「高等学校の基礎解析」の第１章に数列が収録されています。この本の著者のひとりの森毅先生は「数列は，とにかく遊び感覚で数字の扱いに慣れればいいんだ」みたいなことを述べておられて，残りの章への関連を述べていません。せいぜい，数列の和が積分（リーマン積分）に関係するぐらいのことしか述べていません。
　それでは数列はなぜ学ぶのでしょうか？　関数のｘ軸（入力側）の離散化，コンピュータ科学の言い方をすれば標本化（サンプリング）です。したがって，数列と関数の関係を意識するべきなんですね。本当は高等学校でここまで意識させてほしいのですが，現状では無理なので，大学あるいは専門学校入学後にそういう教育をするしかありません。

２　等比数列と指数関数
　等比数列の式は以下のように書きますね。高等学校と異なって，n＝0から始めることにします。ここでnは整数です。
An＝A0・r^n
　もう少し関数ぽく書き直すと
A(n)＝A(0)・r^n
となり，A(0)は初項といいますが，関数的な考えであれば初期値ともいえますね。こんどはnを実数全体に拡張してxと書くことにしましょう。
A(x)＝A(0)・r^x
　これは指数関数の世界ですね。rは指数の底，xは指数といいますね。あれ？　高等学校の教科書の形で書くと
f(x)＝ａ^x
　となりますね。aは指数の底，xは指数。前の係数はありません。A(0)の部分は重要で，実際のデータ，たとえば指数関数的に増加する人口を表す場合なら，A(0)の部分は人口調査開始時の人口になります。初期値ですね。

３　バクテリアの増加で指数関数を表現しました。
　「第５章　指数・対数関数，三角関数　第１節　指数関数と対数関数」ではバクテリアの増加を例にあげて説明しています。底は２，指数部分は時間tです。時間tをつかっているので，自然な形で実数の指数がわかるかと思いましたが，読者の方から，「わかりにくい」という声を聞きました。等比数列から指数関数へのつながりが悪いのでないかと思い，現在，接続する方法を検討中です。
　高等学校の教科書ではn乗根から分数指数をつまりn乗根は1/n乗であることを定義にしています。しかし，n乗根を数値的に確かめることが高校生ではできないのが残念です。最近だとパソコンやスマホあるので，こういう手段を提示することも重要です。なお，n乗根を求めるときは1/n乗します。この関係はしっかり教える必要があります。
　√は1/2乗
　n√は1/n乗…しかし2乗根（平方根）の場合は，左肩に２と書きません。

４　累乗？　べき乗？
　高等学校では，「累乗」と言葉を使いますが，高等学校を卒業すると，「べき乗」しか使いません。昔「冪（べき）」という漢字が当用漢字（現在の常用漢字）に入っていないので，当時の文部省が「冪乗」を「累乗」に置き換えたと言われています。一方，多項式では「降べきの順」や「昇べきの順」という言葉は残っているので，一貫性のなさを感じます。

【ブログ内参照】
指数・対数関数や三角関数のトラウマの方は三省堂の「高等学校の基礎解析」を読みましょう。 | オブ脳@kcg

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「基礎数学の123」が書かれた当初のことを思い出して，どういう意図で書いたかを述べたいと思います。今回は以下のところです。
「基礎数学の123」１　
第５章　指数・対数関数，三角関数
第２節　三角比と三角関数

１　三角比へのこだわり
　三角比の定義ははっきりいってわかりにくい。なぜ，そんなものを定義するのかがわからないからです。ポイントは以下の点にあります。
・直角三角形の相似の条件は角度が一つきまればいい
・直角三角形は斜辺以外の２辺は「角度に接する辺」と「角度から離れた辺」に区別される

　以上のことから，斜辺の長さを１に規格化すれば，当然，２辺の長さはけっていされるのです。「角度に接する辺」をコサイン，「角度から離れた辺」をサインと呼びます。ということから，ややこしい説明を抜きにして，単位円のｘ座標をコサイン，ｙ座標をサインとして定義して始めました。「基礎数学のABC」の第４章もご覧ください。

２　n倍角の公式からべき級数展開へ
　さて，私がここでとった方法は，日本の和書では珍しい方法です。それは，２倍角の公式，３倍角の公式と増やして，n倍角の公式を導きます。本書では紙面の都合で数学的帰納法をつかった証明は与えていませんが，結果は簡単に推定できます。この係数がマイナス部分を除いてはパスカルの三角形になるんです(p.222～p.224)。
　ここでθが小さいときはsinθ≒θ，cosθ≒１になることを利用してnθ＝αとおくとなんと，コサインとサインのべき級数展開が導けます。ただし，無限数列の和が収束する（一定数になること）ことの証明も与えていません。しかし，私はべき級数展開にこだわりました。
　理由は以下の通りです。
コンピュータ内部では，コサインやサインはべき級数展開で計算するからです。
べき級数展開の結果を覚えておけば，微分や積分も容易に理解できる
オイラーの公式へ移行がスムーズである。
無限数列の和の収束の議論の重要性を感じることができる。

　この流れの原点はハイラー・ワナーの「解析教程　上」から学びました。

３　波の式
　通常の数学の三角関数では波の式は扱いません。これは全くおかしな話です。物理学や工学の分野では三角関数と言えば波の式です。私のこだわりでは
ｙ＝sinθ
では一般性はなく
ｙ＝Asinωt
の方が一般性があると考えています。物理量としては振幅のAの部分があり，波打って変化するのはサインの方です。おまけに角度が変化するのではなく，角振動数と時間の積が変化するんですね。ここは強調しました。なお，ｋXととして各波数と位置の積もとりあげています。また，この当時のゆとり教育の影響で，三角関数の積和公式や和積公式も教えられていなかったので，ここでは掲載しています。

【参考文献】

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この本でも三角関数のべき級数展開を扱っています。

　私は，数学教材のインストラクショナルデザインを考えるという観点から，学習指導要領と生年の関係を研究してきました。その上で著書を著してきました。

【参照】
ゆとり教育で不足した学力はどこで補完するのか ～社会人になるために～ | Vol.20 | アキューム

　ところで，ジェネレーション・グラムという考え方で，これを発展させた図版がありました。社会現象まで書いていますので，よくわかりますね。

データえっせい: どの学習指導要領で育ったか

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　今回は集合について取り上げます。

「基礎数学のABC」
第１章　集合と論証
第１節　集合
第2節　命題と集合
第3節　コンピュータと集合

　そもそも，この本の最初に「集合と論証」を持ってきたのはなぜか？　1994年度から実施された学習指導要領では数学はI/II/III系統とA/B/C系統に分けられた。文部科学省の科目番号の決まりでは，I/II/III系統は積み上がっていくイメージであるのに対して，A/B/C系統は学校の状況に合わせて履修させる科目なのである。I/II/III系統は解析学の系統の単元が多く，その扱いはかなり伝統的かつ体系的であった。一方，A/B/C系統はカオスなのである。特に，2003年度から実施の学習指導横領（世間でいうゆとり）の数学Aは謎めいていた。抜粋して掲載する。
【出典】
第４節　数　　学（第3次ゆとり教育の数学A）
＝＝＝＝＝
(１)　平面図形
　ア　三角形の性質　　イ　円の性質
(２)　集合と論理
　図表示などを用いて集合についての基本的な事項を理解し，統合的に見ることの有用性を認識し，論理的な思考力を伸ばすとともに，それらを命題などの考察に生かすことができるようにする。
　ア　集合と要素の個数　イ　命題と証明
(３)　場合の数と確率
　ア　順列・組合せ　イ　確率とその基本的な法則　ウ　独立な試行と確率
＝＝＝＝＝＝
　2004年の執筆当時に出版されたほとんどの教科書は何の思想もなく，３単元が並んでいるだけでした。しかし，啓林館だけはストーリー性があったんです。

• 「集合と論理」の論理を発展させる形で「平面図形」を扱う
• 「集合と論理」の集合を発展させる形で「場合の数と確率」を扱う

　この流れはすばらしい。そこで我々もこの流れに従うことにしたんです。こうすれば，「場合の数と確率」から「統計」へつなぐことができるからです。
　さて，実際に執筆を始めると公務員試験で出題されるが「命題と論証」であることがわかった。もちろん情報系の教員だったので，論理回路も扱いたい。そこで以下のような流れになった。

• 第１節　集合→「第２章　個数の処理と確率」→「第３章　統計とコンピュータ」
• 第2節　命題と集合→「第４章　初等幾何の体系」→「第５章　解析幾何とベクトル」
• 第3節　コンピュータと集合

　このことは本書を構成していく上できわめて重要なコンセプトであることが理解していただけるでしょう。

【参考文献】

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【シリーズ】

 「基礎数学のABC」著者語る１　初等幾何の体系　図形と計量，三平方の定理 | オブ脳@kcg

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　本年の初めから，著書について，どういう意図で執筆したかを解説します。

「基礎数学のABC」１
第４章　初等幾何の体系
第３節　図形と計量

　そもそも，この本に「初等幾何」を掲載するべきかどうかは著者の間で議論になりました。

• 掲載する理由：第３次ゆとり教育(2003年度学習指導要領）で高校へ上がってきた部分が多く，論証の部分などは中学校で扱わなくなった。その上，就職試験や公務員試験で扱う。

• 掲載しない理由：大学で扱わない。大学での学習のどこにつづくか不明

　結局，就職試験や公務員試験の対策の必要性から著者全員が納得したのである。公務員試験でおく出題されるのは，初等幾何以外には，「第１章　第２節　命題と論証」があげられる。

　さて，公務員試験でなぜ，初等幾何がよく出題されるのか？　特に「図形と計量」の部分はよく出題される。

• 多角形の面積を求める問題
• 相似形の問題

　ここから推定されるのは，公務員は建物や土地の図面を見ることが多いので，図形の知識が必要なのではないかということである。事実，たまたま私はある公務員の方と話をしたことがあるが，その方は土地の登記をずっと扱っているというのです。測量して面積を求めることなど日常の仕事なんですね。なるほど，相似形などもわかっていないと，面積を求めるのは難しいので，そういう知識を問うていることがよくわかりました。

　著者の一人に当時，高等学校の教員がおられました。その方の意見で，三平方の定理（ピタゴラスの定理）を重視した構成にしました。三平方の定理を知らない大学生や大卒者が多いことに驚いていました。三平方の定理が重要なのは以下の点です。

• 平方根の図形的理解
• 座標幾何で，２点間の距離を求める→円や球の方程式
• 余弦定理の理解→幾何学的内積の理解

　これらを理解できないことは高校数学のベクトルの理解が壊滅的になります。事実，そういう方はたくさんいるのです。でも三平方の定理は中学校でやるはずです。ここで高等学校の教員の共著者からすごい発言が出てきました。「三平方の定理は中学校三年生の最後の方で学習する。高校入試まで期間が短く，生徒の習熟度が低いため，できるたけ出題しないようにと教育委員会からお達しが来るんですよ」と。共著者一同驚きましたが，三平方の定理が重要であるにもかかわらず，「中学校でやっていない」と大きな顔をする大学生や大卒者がたくさんいることへヒントになりました。いずれにしても，三平方の定理は理解しやすいように工夫しました。

　この節は，高等学校の三角比で扱われる正弦定理や余弦定理，中学校から高等学校へ移ってきた正多面体や相似形を扱っています。どうも数学の理解がたらないと言う方はこの部分から学習し直してはどうでしょうか？

【リンク】
ゆとり教育で不足した学力はどこで補完するのか ～社会人になるために～ | Vol.20 | アキューム