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　今回は等比数列と指数関数の関係について述べます。とりあげる場所は以下の部分です。

第３章　数列　第１節　数列
第５章　指数・対数関数，三角関数　第１節　指数関数と対数関数

１　そもそも数列をなぜ学習するのか？
　私がいつも参考にしている三省堂の教科書の一つである「高等学校の基礎解析」の第１章に数列が収録されています。この本の著者のひとりの森毅先生は「数列は，とにかく遊び感覚で数字の扱いに慣れればいいんだ」みたいなことを述べておられて，残りの章への関連を述べていません。せいぜい，数列の和が積分（リーマン積分）に関係するぐらいのことしか述べていません。
　それでは数列はなぜ学ぶのでしょうか？　関数のｘ軸（入力側）の離散化，コンピュータ科学の言い方をすれば標本化（サンプリング）です。したがって，数列と関数の関係を意識するべきなんですね。本当は高等学校でここまで意識させてほしいのですが，現状では無理なので，大学あるいは専門学校入学後にそういう教育をするしかありません。

２　等比数列と指数関数
　等比数列の式は以下のように書きますね。高等学校と異なって，n＝0から始めることにします。ここでnは整数です。
An＝A0・r^n
　もう少し関数ぽく書き直すと
A(n)＝A(0)・r^n
となり，A(0)は初項といいますが，関数的な考えであれば初期値ともいえますね。こんどはnを実数全体に拡張してxと書くことにしましょう。
A(x)＝A(0)・r^x
　これは指数関数の世界ですね。rは指数の底，xは指数といいますね。あれ？　高等学校の教科書の形で書くと
f(x)＝ａ^x
　となりますね。aは指数の底，xは指数。前の係数はありません。A(0)の部分は重要で，実際のデータ，たとえば指数関数的に増加する人口を表す場合なら，A(0)の部分は人口調査開始時の人口になります。初期値ですね。

３　バクテリアの増加で指数関数を表現しました。
　「第５章　指数・対数関数，三角関数　第１節　指数関数と対数関数」ではバクテリアの増加を例にあげて説明しています。底は２，指数部分は時間tです。時間tをつかっているので，自然な形で実数の指数がわかるかと思いましたが，読者の方から，「わかりにくい」という声を聞きました。等比数列から指数関数へのつながりが悪いのでないかと思い，現在，接続する方法を検討中です。
　高等学校の教科書ではn乗根から分数指数をつまりn乗根は1/n乗であることを定義にしています。しかし，n乗根を数値的に確かめることが高校生ではできないのが残念です。最近だとパソコンやスマホあるので，こういう手段を提示することも重要です。なお，n乗根を求めるときは1/n乗します。この関係はしっかり教える必要があります。
　√は1/2乗
　n√は1/n乗…しかし2乗根（平方根）の場合は，左肩に２と書きません。

４　累乗？　べき乗？
　高等学校では，「累乗」と言葉を使いますが，高等学校を卒業すると，「べき乗」しか使いません。昔「冪（べき）」という漢字が当用漢字（現在の常用漢字）に入っていないので，当時の文部省が「冪乗」を「累乗」に置き換えたと言われています。一方，多項式では「降べきの順」や「昇べきの順」という言葉は残っているので，一貫性のなさを感じます。

【ブログ内参照】
指数・対数関数や三角関数のトラウマの方は三省堂の「高等学校の基礎解析」を読みましょう。 | オブ脳@kcg

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「基礎数学の123」が書かれた当初のことを思い出して，どういう意図で書いたかを述べたいと思います。今回は以下のところです。
「基礎数学の123」１　
第５章　指数・対数関数，三角関数
第２節　三角比と三角関数

１　三角比へのこだわり
　三角比の定義ははっきりいってわかりにくい。なぜ，そんなものを定義するのかがわからないからです。ポイントは以下の点にあります。
・直角三角形の相似の条件は角度が一つきまればいい
・直角三角形は斜辺以外の２辺は「角度に接する辺」と「角度から離れた辺」に区別される

　以上のことから，斜辺の長さを１に規格化すれば，当然，２辺の長さはけっていされるのです。「角度に接する辺」をコサイン，「角度から離れた辺」をサインと呼びます。ということから，ややこしい説明を抜きにして，単位円のｘ座標をコサイン，ｙ座標をサインとして定義して始めました。「基礎数学のABC」の第４章もご覧ください。

２　n倍角の公式からべき級数展開へ
　さて，私がここでとった方法は，日本の和書では珍しい方法です。それは，２倍角の公式，３倍角の公式と増やして，n倍角の公式を導きます。本書では紙面の都合で数学的帰納法をつかった証明は与えていませんが，結果は簡単に推定できます。この係数がマイナス部分を除いてはパスカルの三角形になるんです(p.222～p.224)。
　ここでθが小さいときはsinθ≒θ，cosθ≒１になることを利用してnθ＝αとおくとなんと，コサインとサインのべき級数展開が導けます。ただし，無限数列の和が収束する（一定数になること）ことの証明も与えていません。しかし，私はべき級数展開にこだわりました。
　理由は以下の通りです。
コンピュータ内部では，コサインやサインはべき級数展開で計算するからです。
べき級数展開の結果を覚えておけば，微分や積分も容易に理解できる
オイラーの公式へ移行がスムーズである。
無限数列の和の収束の議論の重要性を感じることができる。

　この流れの原点はハイラー・ワナーの「解析教程　上」から学びました。

３　波の式
　通常の数学の三角関数では波の式は扱いません。これは全くおかしな話です。物理学や工学の分野では三角関数と言えば波の式です。私のこだわりでは
ｙ＝sinθ
では一般性はなく
ｙ＝Asinωt
の方が一般性があると考えています。物理量としては振幅のAの部分があり，波打って変化するのはサインの方です。おまけに角度が変化するのではなく，角振動数と時間の積が変化するんですね。ここは強調しました。なお，ｋXととして各波数と位置の積もとりあげています。また，この当時のゆとり教育の影響で，三角関数の積和公式や和積公式も教えられていなかったので，ここでは掲載しています。

【参考文献】

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この本でも三角関数のべき級数展開を扱っています。

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　今回は集合について取り上げます。

「基礎数学のABC」
第１章　集合と論証
第１節　集合
第2節　命題と集合
第3節　コンピュータと集合

　そもそも，この本の最初に「集合と論証」を持ってきたのはなぜか？　1994年度から実施された学習指導要領では数学はI/II/III系統とA/B/C系統に分けられた。文部科学省の科目番号の決まりでは，I/II/III系統は積み上がっていくイメージであるのに対して，A/B/C系統は学校の状況に合わせて履修させる科目なのである。I/II/III系統は解析学の系統の単元が多く，その扱いはかなり伝統的かつ体系的であった。一方，A/B/C系統はカオスなのである。特に，2003年度から実施の学習指導横領（世間でいうゆとり）の数学Aは謎めいていた。抜粋して掲載する。
【出典】
第４節　数　　学（第3次ゆとり教育の数学A）
＝＝＝＝＝
(１)　平面図形
　ア　三角形の性質　　イ　円の性質
(２)　集合と論理
　図表示などを用いて集合についての基本的な事項を理解し，統合的に見ることの有用性を認識し，論理的な思考力を伸ばすとともに，それらを命題などの考察に生かすことができるようにする。
　ア　集合と要素の個数　イ　命題と証明
(３)　場合の数と確率
　ア　順列・組合せ　イ　確率とその基本的な法則　ウ　独立な試行と確率
＝＝＝＝＝＝
　2004年の執筆当時に出版されたほとんどの教科書は何の思想もなく，３単元が並んでいるだけでした。しかし，啓林館だけはストーリー性があったんです。

• 「集合と論理」の論理を発展させる形で「平面図形」を扱う
• 「集合と論理」の集合を発展させる形で「場合の数と確率」を扱う

　この流れはすばらしい。そこで我々もこの流れに従うことにしたんです。こうすれば，「場合の数と確率」から「統計」へつなぐことができるからです。
　さて，実際に執筆を始めると公務員試験で出題されるが「命題と論証」であることがわかった。もちろん情報系の教員だったので，論理回路も扱いたい。そこで以下のような流れになった。

• 第１節　集合→「第２章　個数の処理と確率」→「第３章　統計とコンピュータ」
• 第2節　命題と集合→「第４章　初等幾何の体系」→「第５章　解析幾何とベクトル」
• 第3節　コンピュータと集合

　このことは本書を構成していく上できわめて重要なコンセプトであることが理解していただけるでしょう。

【参考文献】

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【シリーズ】

 「基礎数学のABC」著者語る１　初等幾何の体系　図形と計量，三平方の定理 | オブ脳@kcg

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　本年の初めから，著書について，どういう意図で執筆したかを解説します。

「基礎数学のABC」１
第４章　初等幾何の体系
第３節　図形と計量

　そもそも，この本に「初等幾何」を掲載するべきかどうかは著者の間で議論になりました。

• 掲載する理由：第３次ゆとり教育(2003年度学習指導要領）で高校へ上がってきた部分が多く，論証の部分などは中学校で扱わなくなった。その上，就職試験や公務員試験で扱う。

• 掲載しない理由：大学で扱わない。大学での学習のどこにつづくか不明

　結局，就職試験や公務員試験の対策の必要性から著者全員が納得したのである。公務員試験でおく出題されるのは，初等幾何以外には，「第１章　第２節　命題と論証」があげられる。

　さて，公務員試験でなぜ，初等幾何がよく出題されるのか？　特に「図形と計量」の部分はよく出題される。

• 多角形の面積を求める問題
• 相似形の問題

　ここから推定されるのは，公務員は建物や土地の図面を見ることが多いので，図形の知識が必要なのではないかということである。事実，たまたま私はある公務員の方と話をしたことがあるが，その方は土地の登記をずっと扱っているというのです。測量して面積を求めることなど日常の仕事なんですね。なるほど，相似形などもわかっていないと，面積を求めるのは難しいので，そういう知識を問うていることがよくわかりました。

　著者の一人に当時，高等学校の教員がおられました。その方の意見で，三平方の定理（ピタゴラスの定理）を重視した構成にしました。三平方の定理を知らない大学生や大卒者が多いことに驚いていました。三平方の定理が重要なのは以下の点です。

• 平方根の図形的理解
• 座標幾何で，２点間の距離を求める→円や球の方程式
• 余弦定理の理解→幾何学的内積の理解

　これらを理解できないことは高校数学のベクトルの理解が壊滅的になります。事実，そういう方はたくさんいるのです。でも三平方の定理は中学校でやるはずです。ここで高等学校の教員の共著者からすごい発言が出てきました。「三平方の定理は中学校三年生の最後の方で学習する。高校入試まで期間が短く，生徒の習熟度が低いため，できるたけ出題しないようにと教育委員会からお達しが来るんですよ」と。共著者一同驚きましたが，三平方の定理が重要であるにもかかわらず，「中学校でやっていない」と大きな顔をする大学生や大卒者がたくさんいることへヒントになりました。いずれにしても，三平方の定理は理解しやすいように工夫しました。

　この節は，高等学校の三角比で扱われる正弦定理や余弦定理，中学校から高等学校へ移ってきた正多面体や相似形を扱っています。どうも数学の理解がたらないと言う方はこの部分から学習し直してはどうでしょうか？

【リンク】
ゆとり教育で不足した学力はどこで補完するのか ～社会人になるために～ | Vol.20 | アキューム

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　「基礎数学の１２３」が１０年を迎えました。これを記念して，事例分類表を作りました。事例（case study)ごとに学習できます。番号はページです。

事例分類表            
    水槽    １次関数    2,5,6
    バネ            4
    投げ上げたボール    ２次関数    9, 23
    花壇    ２次方程式    11, 25
    黄金比    ２次方程式    15
    封筒で黄金比        16
    銅板から溝    ２次関数    17
    電車の運転台        21
    小石の落下運動        22
    石と井戸        25
    水槽    １次不等式    26
    ひもで正方形    ２次不等式    30
    針金で長方形    ２次不等式    31
    売り上げの最大最小    ２次不等式    33
            
    たすき    因数分解    37
    古代のエジプトの測量    因数分解    41
    二等辺三角形    二重根号    46
    太陽系の距離    べき乗    47, 48
    水素原子    べき乗    47
    像とネズミ    ３次の変化    80
    像とネズミ    ３次の変化    242,243
    厚紙で体積の最大最小    ３次の変化    82
            
    紙の規格    数列    88
    黄金比    数列    88
    白銀比    数列    88
    りんごの積み上げ    数列    89
    ギター    等比数列    96
    紙の重ね合わせ    等比数列    97
    複利計算    等比数列    99
    人口の増加率    等比数列    100
    湖の透明度    等比数列    101
    うわさの伝搬    等比数列    100
    元利計算    等比数列    103
    正方形の面積の収束    無限等比数列の和の収束    105
    木の成長    無限等比数列の和の収束    105
    りんごの積み上げ    k(k+1)    108
    りんごの積み上げ    平方数    111
    宿泊客数    二重の和    114
    球の転がり        115
    ハノイの塔    漸化式    117
    ウサギのつがい    フィボナッチ数列    121
    ネズミの増加    等比数列    126
    初任給    等比数列    126
    噂の伝搬    等比数列    126
            
    バクテリア    指数関数    194
    湖の透明度    指数関数    197
    Powers of ten    指数関数    198
    ギター    指数関数    200
    円盤計算尺    対数関数    203
    新聞の二つ折り    対数関数    206
    放射性元素の崩壊    自然対数の底e    209
    ガラスへの透過光    対数関数    210
    人口増加    自然対数の底e    213
    星座早見盤    三角関数    216
    観覧車    三角関数    217
    ばね    波の式    233
    音のうなり    波の式    238
    飲料水の濾過    対数関数    244
    貯金    対数関数    244
    テレビ塔の高さ    三角関数    245
            
    札幌市の市街    直交座標    248
    京都市の市街    直交座標    248
    家の付近の地図    直交座標    250
    オートバイでダイビング    直交座標の平行移動    251
    無重力のオートバイ    直交座標の平行移動    260
    モンキーハンティング    放物線    261
    鉄砲の弾    放物線    263
    日吉駅    極座標    265
    田園調布駅    極座標    265
    消防士の放水    放物線    276

 【出典】
基礎数学のI II III

【ブログ内関連記事】

指数・対数関数や三角関数のトラウマの方は三省堂の「高等学校の基礎解析」を読みましょう。

三省堂高等学校数学教科書電子版の公開

微分積分の要点がわかる本をだしました。 | オブ脳@kcg

　日本ではパスカルの三角形(Pascal’s triangle)は理系の特殊な人にしかなじみがありませんが，海外ではこどもの絵本にまで出てきます。たとえば，以下のような本です。原著はドイツ語です。

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いくつかサイトを紹介しましょう。多くはシェルピンスキーの三角形との関連づいています。

pascal triangle – Google 検索

なかなか美しい模型のパスカルの三角形です。

Not Your Everyday Math Lesson When You’re Lost In Pascal’s Triangle | The Creators Project

ところでパスカルの三角形は，二項定理に使いますが以下の使い道もあります。

xのn乗の微分公式の導出

自然対数の底eの定義

サイン，コサインのn倍角の公式→これがべき級数展開になります。

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制作２年，ようやく，発売にこぎ着けました。高校１・２年レベルの基本公式から、ｎ次関数・三角関数の微分積分、さらに微分方程式まで扱い、学年が進んだときの学びにも配慮したテキスト。単位を取るためのポイントと、大学卒業までに修得するべきポイントがわかります。そして，本書の最終ページは，PID制御の話でしめています。

【目次】
第０章　公式のまとめ
公式のまとめ１（関数）    
公式のまとめ２（微分積分）　公式体系図    
公式のまとめ３（三角関数，指数・対数）    
公式のまとめ４（陽関数，陰関数など）    
公式のまとめ５（二項定理）    
公式のまとめ６（定積分の図解）

第１章　ｎ次関数
第１講の講義　関数と座標幾何    
第２講の講義　微分は瞬間の傾き    
第３講の講義　積分は積み重ね    
第４講の講義　運動と微分方程式    
第５講の講義　微分・積分の線形性  

第２章　指数関数・対数関数
第６講の講義　指数関数   
第７講の講義　指数関数の微分
第８講の講義　双曲線の面積と対数関数
第９講の講義　成長と衰退   
第１０講の講義　対数と微分積分  

第３章　三角関数
第１１講の講義　三角関数    
第１２講の講義　三角関数の微分    
第１３講の講義　三角関数の積分    
第１４講の講義　２階の微分方程式    
第１５講の講義　座標幾何と三角関数  

第４章　有理関数と無理関数
第１６講の講義　有理関数＝分数関数   
第１７講の講義　有理関数の微分    
第１８講の講義　有理関数・無理関数の積分
第１９講の講義　微分方程式と方向場   
第２０講の講義　微分積分のまとめ    

第５章　連続・近似と応用
第２１講の講義　極限    
第２２講の講義　微分と数値計算    
第２３講の講義　積分と数値計算    
第２４講の講義　微分方程式の応用    
第２５講の講義　関数の連続性    

第６章　多変数関数の微分積分
第２６講の講義　多変数関数   
第２７講の講義　多変数関数の微分    
第２８講の講義　多変数関数の積分    
第２９講の講義　常微分方程式と偏微分方程式   
第３０講の講義　まとめ    

　私は，１１月末のeラーニング Awardsフォーラムでたまたま，この著者と知り合ったので，調べているとこの本が出てきたんですね。 　この本にある内容をつかって問題演習をおこなう著書は私は以前著しています（最下段参照）。

　さて，「人生を変える数学そして音楽」という本について述べます。

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　さて，この本はとても面白いのですが，あまり評価の高くない書評をあげておきます。

「タイトルに内容に裏切られたと記しましたが、内容はいいと思います。(矛盾してますねすみません。)　ただ、個人的になんとなくシックリこない書き方だなーと思いました。「数学」にはこんなものがあり想像は楽しい。「音楽」には(以下略)面白い。数学と音楽の間にはなんらの接点がある。だからどうなるのか？知ってどうなるのか？「目的」がない。から、つまらない。これは心から思った。(数学、音楽が嫌いなわけではありません。　)　まあ確かに想像力を豊かにするという意味ではいいかもしれない。でも私には「数学」と「音楽」の素晴らしさというものはあまり伝わってこなかったです。 」

　これは，モノクロの紙書籍の限界を物語っています。私なら，この本を電子書籍にして，音楽が出るような本にしたいですね。もちろん，図版はカラー。 　あと，軽快な感じで書かれているのも好感をもてるのは，モーツァルトみたいです。しかし，数学は本来ベートーベンみたいなもんなんで，この本のマルチメディア化こそが，本当のめざすべきところであり，私の仕事としてやりたいことですね。アーティスト，ミュージシャン，デザイナー，シナリオライター，そして，数学を使う理数系研究者のコラボレーション！

【参考文献】

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